Перевод из двоичной системы в десятичную: примеры и тренировка

Как устроены разряды

В десятичном числе разряды справа налево имеют веса 1, 10, 100 и так далее. В двоичном — 1, 2, 4, 8, 16, 32… Каждый следующий вес вдвое больше предыдущего. Крайний правый разряд соответствует 2⁰ = 1.

Чтобы перевести число в десятичную систему, сложите веса тех разрядов, где стоит единица. Разряды с нулём ничего к сумме не добавляют.

Пример: 101101₂ → 45₁₀

Подпишем веса справа налево. У числа шесть разрядов: 32, 16, 8, 4, 2, 1.

101101₂ = 32 + 8 + 4 + 1 = 45₁₀. Нули сохраняют позиции разрядов: вычёркивать их из записи нельзя.

Обратный перевод: 26₁₀ → 11010₂

Представим 26 как сумму степеней двойки: 26 = 16 + 8 + 2. Для весов 16, 8, 4, 2, 1 получаем цифры 1, 1, 0, 1, 0. Ответ: 11010₂.

Другой способ — делить целое число на 2 и записывать остатки, пока частное не станет нулём. Остатки читают в обратном порядке: от последнего к первому. Для числа 0 двоичная запись — 0.

Три частые ошибки

• Начинать правый разряд с 2 вместо 1.
• Складывать все веса, включая позиции с нулём.
• При делении на 2 читать остатки сверху вниз.

Быстрая проверка: нечётное целое число заканчивается в двоичной записи на 1, чётное — на 0. Это не заменяет полный расчёт, но помогает заметить ошибку.

Как сложить двоичные числа и проверить результат

Правила для одного разряда: 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 10₂. Последняя запись означает: в текущем разряде пишем 0, а единицу переносим в следующий.

  1011₂
+ 0110₂
-------
 10001₂

Идём справа налево: 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 10₂ — пишем 0 и переносим 1; 0 + 1 + 1 = 10₂ — снова перенос; 1 + 0 + 1 = 10₂. Проверка в десятичной системе: 11 + 6 = 17, а 10001₂ = 16 + 1 = 17.

Проверка перевода в Python

Сначала выполните перевод вручную, затем используйте Python как проверку:

print(int("101101", 2))  # 45
print(bin(26)[2:])       # 11010

В int второй аргумент — основание системы. Функция bin добавляет префикс 0b; срез [2:] убирает его для неотрицательного числа. Не путайте двоичную строку с десятичным числом 101101.

Для тренировки переходите к переводу систем счисления, а для экзаменационной практики — к заданию 14 ЕГЭ.

Перевод делением на 2: в каком порядке читать остатки

Переведём 38₁₀ в двоичную систему. Делим целую часть на 2 до нулевого частного. Остатки всегда равны 0 или 1.

Читаем столбец остатков снизу вверх: 100110₂. Проверяем разрядами: 32 + 4 + 2 = 38.

Почему снизу? Первый остаток — младшая цифра, то есть крайняя справа. Если прочитать сверху вниз, получится 011001₂ = 25 — другое число.

Сколько цифр и единиц в двоичной записи

У положительного целого числа ровно k двоичных цифр, если 2^(k−1) ≤ n < 2^k. Ведущие нули не учитываем.

Например, 32 ≤ 38 < 64, поэтому у 38 шесть цифр. В записи 100110 всего три единицы: длина записи и число единиц — разные величины.

n = 38
s = bin(n)[2:]
print(s)           # 100110
print(len(s))      # 6 цифр
print(s.count("1")) # 3 единицы

На границе степени двойки длина меняется: 31₁₀ = 11111₂, а 32₁₀ = 100000₂. Это удобная проверка ответа.

Как перевести двоичное число онлайн и проверить вручную

В схеме в начале статьи можно включать разряды или вводить число от 0 до 255. Для большего целого числа используйте Python онлайн:

print(int("101101", 2))  # 45
print(bin(26)[2:])      # 11010

Сначала посчитайте вручную: 101101₂ = 32 + 8 + 4 + 1 = 45. При обратном переводе 26 = 16 + 8 + 2, поэтому для весов 16, 8, 4, 2, 1 получаем 11010₂. Запуск программы служит проверкой вашего решения.

Примените перевод к алгоритму обработки числа

В задании ЕГЭ №16371 используется алгоритм обработки чисел. Перед программированием проследите преобразование на маленьком числе: двоичная запись → изменение разрядов → перевод обратно. Затем сравните результат с объяснением задачи.

Следующий шаг: примените приём

Двоичные алгоритмы в ЕГЭ: дописывание битов и решение на Python →

От двоичных разрядов — к заданию ОГЭ

В экзаменационном выражении могут встретиться разные основания. Переводите каждое слагаемое отдельно, а затем выполняйте арифметику.

Проверить себя: задание 10 ОГЭ из демоверсии →

Закрепите приём на новых задачах

Сначала решите самостоятельно. Затем проверьте ответ или откройте объяснение.