Задание 2 ЕГЭ по информатике: таблицы истинности без путаницы

Четыре операции, которые нужно различать

• НЕ x (¬x) меняет 0 на 1, а 1 на 0.
• x И y (x ∧ y) равно 1 только тогда, когда оба значения равны 1.
• x ИЛИ y (x ∨ y) равно 1, если хотя бы одно значение равно 1.
• x → y равно 0 только при x = 1 и y = 0. Во всех остальных случаях оно равно 1.

Для импликации можно использовать замену: x → y = ¬x ∨ y. Эквивалентность x ≡ y равна 1 при одинаковых значениях x и y.

Строим таблицу по шагам

Пусть F = (x → y) ∧ x. Сначала вычислим импликацию, затем результат И с x. Для двух переменных есть 2² = 4 набора.

Например, при x = 0 и y = 0 импликация истинна, но F = 1 ∧ 0 = 0. Выражение F равно 1 только в последней строке.

Полезный приём: чтобы И было истинно, обе его части должны быть истинны. Здесь сразу получаем x = 1, а затем из истинной импликации — y = 1.

Как восстановить порядок столбцов

В упрощённом примере F = x → y. Названия двух столбцов неизвестны. В единственной строке с F = 0 записано: первый столбец — 0, второй — 1.

1. Импликация ложна только при x = 1, y = 0.
2. Единица стоит во втором столбце, значит второй столбец — x.
3. Ноль стоит в первом, значит первый столбец — y. Порядок слева направо: yx.

В экзаменационных задачах переменных обычно больше и часть клеток может быть пустой. Проверьте найденную перестановку по всем строкам. Пустая клетка означает неизвестное значение, а не ноль.

Как не потерять правильный ответ

Промежуточные столбцы помогают не держать всё выражение в голове. Сначала скобки, затем отрицание, И, ИЛИ, импликация, эквивалентность, если в условии не оговорён другой порядок.

В Python записывайте логические части в скобках: например, (not x or y) and x. Импликации отдельным оператором в Python нет. При переборе учитывайте различие строк и все ограничения условия.

Записывайте буквы в порядке столбцов исходной таблицы, без пробелов и разделителей, если этого требует задание. Совпадение одной строки ещё не доказывает правильность перестановки.

Перебор Python: проверяем таблицу для трёх переменных

Разберём F = (x → y) ∧ (y → z). Обе импликации должны быть истинны. Переберём все 2³ = 8 наборов, выводя только подходящие.

from itertools import product

for x, y, z in product([0, 1], repeat=3):
    F = (not x or y) and (not y or z)
    if F:
        print(x, y, z)

Вывод: 000, 001, 011, 111 (в каждой строке три числа через пробел). Всего четыре набора. Например, 010 не подходит: y = 1, z = 0 делают вторую импликацию ложной.

Скобки разделяют две импликации; → нельзя просто скопировать в программу как оператор. Для независимой проверки вычислите каждую импликацию вручную на одном подходящем и одном неподходящем наборе.

Пустые клетки: проверяем все возможные значения

Для того же выражения дана строка x = 1, y неизвестно, z = 1 и F = 1. Если y = 0, первая импликация ложна. Если y = 1, обе истинны. Значит, здесь неизвестная клетка равна 1.

Но для строки x = 0, z = 1 и F = 1 подходят оба значения y. По одной такой строке нельзя однозначно восстановить неизвестное.

1. Отделите неизвестные клетки от известных нулей.
2. Проверьте допустимые заполнения для выбранной перестановки столбцов.
3. Убедитесь, что выполняются все строки и требование различия строк, если оно есть в условии.
4. Только после этого запишите порядок букв слева направо.

Проверьте себя

Сначала решите самостоятельно. Затем проверьте ответ или откройте объяснение.