ЕГЭ · ЗАДАНИЕ 15
ФИПИ 2027 · задание 15
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m»; пусть на числовой прямой дан отрезок B = [70; 90].
Для какого наибольшего натурального числа А логическое выражение ДЕЛ(x, A) ∨ ((x ∈ B) → ¬ДЕЛ(x, 22)) истинно (т.е. принимает значение 1) при любом целом положительном значении переменной х?
Источник задания
Сначала попробуй решить самостоятельно, затем открой разбор. Для автоматической проверки ответа включи JavaScript.
Показать решение по шагам
Разбор решения
Ответ: 88
1. Когда импликация ложна?
Выражение (x ∈ B) → ¬ДЕЛ(x, 22) ложно только тогда, когда x находится в отрезке [70; 90] и при этом делится на 22. За пределами этого случая импликация истинна, и всё выражение уже истинно.
2. Найдём опасное значение x
Кратные 22 рядом с отрезком: 66, 88, 110. В отрезок входит только 88. Значит первая часть ДЕЛ(x, A) обязана быть истинна именно при x = 88.
3. Выберем максимальное A
Число A должно быть натуральным делителем 88. Наибольший делитель числа — само число, поэтому A = 88. Проверка: при x = 88 истинна первая часть; при всех остальных положительных x истинна вторая. Перебирать бесконечно много значений x не нужно.